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文章关键词:金沙国际平台登录,推论

  垂径定理及其推论_数学_初中教育_教育专区。圆部分知识点总结 垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆

  圆部分知识点总结 垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 2:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 点和圆的位置关系 设⊙O 的半径是 r,点 P 到圆心 O 的距离为 d,则有: dr ? 点 P 在⊙O 内; d=r ? 点 P 在⊙O 上; dr ? 点 P 在⊙O 外。 过三点的圆 1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 L 的距离为 d,那么:直线 L 与⊙O 相交 ? dr; 直线 L 与⊙O 相切 ? d=r; 直线 L 与⊙O 相离 ? dr; 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 切线、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; B 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 2、性质定理:切线垂直于过切点的半径 推论 1:过圆心垂直于切线的直线:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 O P A 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵ PA 、 PB 是两条切线 ∴ PA ? PB ; PO 平分 ?BPA 圆幂定理 1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 C B OE A 即:在⊙ O 中,∵弦 AB 、 CD 相交于点 P , D ∴ PA? PB ? PC ? PD 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即:在⊙ O 中,金沙国际平台登录∵直径 AB ? CD , ∴ CE2 ? AE ? BE 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙ O 中,∵ PA 是切线, PB 是割线 ? PC ? PB 割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。 即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC ? PB ? PD? PE A 两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 P D E O C B 如图: O1O2 垂直平分 AB 。 即:∵⊙ O1 、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点 A O1 O2 B ∴ O1O2 垂直平分 AB 圆的公切线 ? CO22 ; A B C O1 O2 (2)外公切线 是半径之和 三角形的内切圆和外接圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。 圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R 和 r,圆心距为 d,那么 两圆外离 ? dR+r 两圆外切 ? d=R+r 两圆相交 ? R-rdR+r(R≥r) 两圆内切 ? d=R-r(Rr) 两圆内含 ? dR-r(Rr) 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心 线垂直平分两圆的公共弦。 圆内正多边形的计算 1.正三角形 在⊙ O 中△ ABC 是正三角形,有关计算在 Rt?BOD 中进行: OD : BD : OB ? 1: 3 : 2 ; C O B D A B C O A E D O B A 2.正四边形 同理,四边形的有关计算在 Rt?OAE 中进行, OE : AE : OA ? 1:1: 2 : 3.正六边形 同理,六边形的有关计算在 Rt?OAB 中进行, AB : OB : OA ? 1: 3 : 2 . 弧长和扇形面积 1、弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l ? n?r 180 2、扇形面积公式 S扇 ? n ?R2 360 ? 1 lR 2 O 其中 n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,L 是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 S ? 1 l ? 2?r ? ?rl 2 其中 L 是圆锥的母线长,r 是圆锥的底面半径。 内切圆及有关计算。 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。 (2)△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径 r= a ? b ? c 。 2 (3)S△ABC= 1 r(a ? b ? c) ,其中 a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径。 2 拱高问题 1.如图,圆弧形桥拱的跨度 AB=12 米,拱高 CD=4 米,则拱桥的半径为( ) A.6.5 米 B.9 米 C.13 米 D.15 米 A S l B 2.如图,用A B 表示主桥拱,设A B 所在圆的圆心为 O,半径为 R.经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC,D 为垂足,OC 与 AB 相交于点 D,根据前面的结论,D 是 AB 的中点,C 是A B 的中点,CD 就是拱高.

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